题目链接：剑指 Offer 42. 连续子数组的最大和

题目

输入一个整型数组，数组中的一个或连续多个整数组成一个子数组。求所有子数组的和的最大值。

要求时间复杂度为O(n)。

示例1:

输入: nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。

解题

要求解子数组的和的最大值，显然是一个DP问题。
对于数组中的元素，我们有两个选择，加 或者 不加。
所以转移方程为：$$Opt(i) = max{Opt(i-1)+nums[i], nums[i]}$$。因为要求最大值，所以我们需要每次进行“加/不加”操作之后，选出最大的数值作为当前的最优解，可以表示为$$res = max{Opt(i), res}$$，运行结束后便得到全局最优解，也就是最大值。

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int[] dp = new int[nums.length];
        dp[0] = nums[0];
        int res = nums[0];
        for(int i = 1; i < nums.length; i++) {
            dp[i] = Math.max(dp[i-1]+nums[i], nums[i]);
            res = Math.max(res, dp[i]);
        }

        return res;
    }
}

时间复杂度：$$O(n)$$
空间复杂度：$$O(n)$$

优化

不难发现，我们每次进行 “加/不加” 操作只用到了前一次的结果，而我们保存了每一次的结果（DP数组），造成了空间浪费，我们只保留上一次的结果即可，不需要保存每次的结果。

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int dp = nums[0], res = nums[0];  // dp数组改为单变量，只保留上一次的结果
        for(int i = 1; i < nums.length; ++i) {
            dp = Math.max(dp+nums[i], nums[i]);
            res = Math.max(res, dp);
        }

        return res;
    }
}

时间复杂度：$$O(n)$$
空间复杂度：$$O(1)$$

有点玄学的是，使用dp数组的内存占用居然比优化后要低，空间复杂度降低了没错，可能是运行时其他因素造成的，让人摸不着头脑。